Reisz F., Sz-Nagy B. Lecons de analyse fonctionnelle.

Le present ouvrage developpe les le?ons que les deux auteurs ont professees au cours de plusieurs annees aux Universites de Szeged et de Budapest sous les titres `Fonctions reelles`, `Equations integrales`, `Espace de Hilbert` etc. Le premier manuscrit a ete acheve en 1948, mais des difficultes techniques en ayant retarde limpression, on y a ajoute dans lentre-temps quelques paragraphes traitant des resultats les plus recents. La premiere partie, sur les theories modernes de la derivation et de lintegration, sert dintroduction a la seconde, qui traite des equations integrales et des fonctionnelles et transformations lineaires. Cette division en deux parties correspond dailleurs a la division du travail entre les deux auteurs: quoiquils aient travaille ensemble, la premiere partie a ete redigee principalement par le premier, et la seconde par le second auteur. Les deux parties forment une unite organique et se groupent autour de lidee doperation lineaire. Cest cette idee qui se reflete aussi dans la methode selon laquelle on edifie la theorie de lintegrale de Lebesgue: cette methode, qui nous para?t plus simple et plus claire que celle fondee sur la mesure, a ete utilisee par le premier auteur dans ses cours depuis plus dune vingtaine dannees, sans ?tre publiee sous sa forme definitive. La premiere partie commence par une demonstration directe du theoreme de Lebesgue sur la derivation des fonctions monotones, et lon lapplique en particulier a letude des relations entre derivees et integrales des fonctions dintervalle. On edifie ensuite la theorie de lintegrale de Lebesgue et lon etudie les espaces L2 et Lp et leurs fonctionnelles lineaires. Lintegrale de Stieltjes et ses generalisations sont introduites en termes doperations lineaires de lespace des fonctions continues. La seconde partie commence par un chapitre sur les equations integrales, dont la theorie a prepare la voie a la theorie generale des transformations lineaires. On expose plusieurs methodes pour arriver a lalternative de Fredholm et on les applique, dans le chapitre suivant, aux equations fonctionnelles completement continues, de type general, de lespace de Hilbert ou dun espace de Banach. Les transformations lineaires completement continues symetriques sont etudiees dans un chapitre separe.

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